n-edik egységgyök

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈnɛdikɛcʃeːɟːøk]

Főnév

(matematika) Az 1 komplex szám $n$ -edik gyökét n-edik egységgyöknek nevezzük. Az n-edik egységgyök alakja $\varepsilon _{k}:=\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}},\quad k=0,1,\ldots ,n-1$ A komplex n-edik egységgyökök teljesítik tehát az $\varepsilon _{k}^{n}=1$ azonosságot minden $k=0,1,\ldots ,n-1$ -re. Másrészt $\varepsilon _{k}=\varepsilon _{1}^{k},\quad k=0,1,\ldots ,n-1$ Azaz, az n-edik egységgyökök halmaza $\left\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{n-1}\right\}=\left\{1,\varepsilon _{1},\varepsilon _{1}^{2},\ldots ,\varepsilon _{1}^{n-1}\right\}$

Az n-edik komplex egységgyökök halmaza zárt a szorzás műveletére vonatkozóan, azaz két n-edik egységgyök szorzata n-edik egységgyök. Minden $1\leq k,\ell \leq n-1$ -re

$\varepsilon _{k}\varepsilon _{\ell }=\left\{{\begin{array}{l l }{\varepsilon _{k+\ell },}&{{\text{ ha }}k+\ell <n}\\{\varepsilon _{k+\ell -n},}&{{\text{ ha }}k+\ell \geq n}\end{array}}\right.$

Egy $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)\right)=$ ${\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)\left(\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}}\right)$ alakban, ahol $k=0,1,\ldots ,n-1.$

Azaz, ha $w_{0}:={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)$ jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor $w_{0},w_{0}\varepsilon _{1},w_{0}\varepsilon _{1}^{2},\dots ,w_{0}\varepsilon _{1}^{n-1}$ adja az összes kölönböző $n$ -edik gyökét $z$ -nek.

Azt is könnyű ellenőrizni, hogy ha $w$ egy tetszőleges rögzített $n$ -edik gyöke $z$ -nek, akkor $w,w\varepsilon _{1},w\varepsilon _{1}^{2},\ldots ,w\varepsilon _{1}^{n-1}$ adja az összes kölönböző $n$ -edik gyökét $z$ -nek. Ehhez csak azt kell észrevenni, hogy az $\varepsilon _{1}$ -gyel való szorzás ${\dfrac {2\pi }{n}}$ szöggel való elforgatást jelent.

angol: nth root of unity (en)